⭐ Chapter 4 : घन और घनमूल (Cubes and Cube Roots)
⭐ PART 1 : घन (Cube) क्या है?
किसी संख्या को 3 बार अपने आप से गुणा करना → घन
उदाहरण
23=2×2×2=82^3 = 2 × 2 × 2 = 8
53=1255^3 = 125
–33=–27–3^3 = –27
इसे Cube Number कहते हैं।
⭐ PART 2 : 1 से 10 तक के घन
| संख्या | घन |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 8 |
| 3 | 27 |
| 4 | 64 |
| 5 | 125 |
| 6 | 216 |
| 7 | 343 |
| 8 | 512 |
| 9 | 729 |
| 10 | 1000 |
⭐ PART 3 : आसान सवाल
⭐ प्रश्न 1: 8 का घन लिखो।
✔ समाधान:
83=5128^3 = 512
⭐ प्रश्न 2: (–5)³ निकालो।
✔ समाधान:
–5 × –5 × –5 = –125
✔ उत्तर: –125
⭐ PART 4 : घनमूल (Cube Root)
घनमूल = वह संख्या जिसका घन करने पर मूल संख्या मिले।
उदाहरण
∛8 = 2
∛27 = 3
∛64 = 4
∛125 = 5
क्यों?
2³ = 8
3³ = 27
5³ = 125
⭐ PART 5 : Cube Root द्वारा Factor Method
तरीका:
संख्या को prime factors में तोड़ो
तीन–तीन के समूह बनाओ
हर समूह से एक संख्या निकलेगी
⭐ प्रश्न 3: ∛216 निकालो।
216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
= (2³)(3³)
∛216 = 2 × 3 = 6
⭐ प्रश्न 4: ∛1728 निकालो।
1728 = 12³
या
1728 = (2³)(3³)(2³)
∛1728 = 12
✔ उत्तर: 12
⭐ PART 6 : Perfect Cube पहचानना
अगर prime factors में सभी शक्तियाँ 3 के गुणज हों → perfect cube है।
✔ उदाहरण:
512 = 2⁹
9 = 3 का गुणज → यह perfect cube है
512 = 8³
⭐ PART 7 : बड़े नंबरों का घनमूल (Unit Digit Method)
नियम:
अंतिम अंक देखकर इकाई अंक पता चलता है
पहले तीन अंक देखकर दहाई/सैकड़ा अंक पता चलता है
उदाहरण:
प्रश्न 5: 2197 का घनमूल निकालो।
2197 का अंत 7 है → cube root का अंतिम अंक 3
(क्योंकि 3³ = 27)
अब शुरुआती भाग: 2
2 से छोटा cube = 1³
→ cube root = 13
✔ उत्तर: 13
⭐ PART 8 : कुछ महत्वपूर्ण घनमूल
| संख्या | घनमूल |
|---|---|
| 64 | 4 |
| 125 | 5 |
| 216 | 6 |
| 343 | 7 |
| 512 | 8 |
| 729 | 9 |
| 1000 | 10 |
⭐ PART 9 : शब्द-प्रश्न (Word Problems)
⭐ प्रश्न 6: एक घन का आयतन 729 cm³ है। उसकी भुजा ज्ञात करें।
✔ समाधान:
भुजा = ∛729 = 9 cm
✔ उत्तर: 9 cm
⭐ **प्रश्न 7: एक घन भंडार में 4096 छोटे घन भरे हुए हैं।
भंडार की एक भुजा ज्ञात करें।**
4096 = 16³
→ भुजा = 16
⭐ PART 10 : मिश्रित प्रश्न
⭐ प्रश्न 8: 2³ × 3³ = ?
= (2×3)³
= 6³
= 216
⭐ प्रश्न 9: (–4)³ + 2³ = ?
–64 + 8 = –56
⭐ प्रश्न 10: क्या 900 Perfect Cube है?
900 का factor:
900 = 2² × 3² × 5²
कोई भी शक्ति 3 का गुणज नहीं → Perfect Cube नहीं।
✔ उत्तर: नहीं
🎯 IMPORTANT QUESTIONS (Exam Focus)
12³
∛512
Factor method से cube root
Cube और cube root के संबंध
Perfect cube पहचानना
🎯 EXPECTED QUESTIONS 2026
∛3375
15³
∛4913
क्या 1000 perfect cube है?
Cube root by factorization